المتسلسلة الحسابية - المعادلات الكاملة وأمثلة المسائل

السلاسل الحسابية هي نمط من الأرقام المتتالية في الرياضيات ، والتي لها فوائد مهمة للغاية بطرق مختلفة.

على سبيل المثال ، عندما تقوم بالتوفير ، فإنك تترك بانتظام بدل خمسة آلاف روبية كل يوم ، وفي اليوم التالي سيكون عشرة آلاف روبية وهكذا. مع مرور الوقت تزداد أموالك ، أليس كذلك؟

حسنًا ، يسمى نمط الجمع هذا بالسلسلة الحسابية.

قبل أن نناقش المتتاليات الحسابية ، يجب أن نفهم أولاً عن المتتاليات الحسابية لأن أنماط الإضافة التي تم الحصول عليها بواسطة المتتاليات الحسابية تأتي من المتتاليات الحسابية.

المتواليات الحسابية

المتتالية الحسابية (Un) هي سلسلة من الأرقام ذات نمط ثابت يعتمد على عمليات الجمع والطرح.

يتكون التسلسل الحسابي من المصطلح الأول (U 1 ) ، والمصطلح الثاني (U 2 ) وما إلى ذلك حتى عدد n أو المصطلح n (Un).

كل قبيلة لها نفس الاختلاف أو الاختلاف. الفرق بين كل قبيلة هو ما يسمى الاختلاف ، ويرمز له ب . يرمز المصطلح الأول U 1 أيضًا إلى a .

أنماط الأرقام الحسابية

التسلسل الحسابي: 0،5،10،15،20،25 ،…. ، Un

على سبيل المثال أعلاه عبارة عن تسلسل حسابي له نفس الاختلاف ، أي ب = 5 والحد الأول هو أ = 0. يتم الحصول على الفرق من طرح كل قبيلة. على سبيل المثال ، المصطلح الثاني U 2 ناقص المصطلح الأول U 1 ، b = U 2 - U 1 = 5 - 0 = 5 ، يمكن أيضًا الحصول على قيمة b من الحد الثالث مطروحًا منه المصطلح الثاني وما إلى ذلك ، أليس كذلك؟

الآن ، لإيجاد صيغة الحد النوني (Un) ، يمكننا استخدام صيغة عملية سهلة الاستخدام.

صيغة المتسلسلة الحسابية البسيطة

حيث ، Un هو الحد n ، U n-1 هو المصطلح قبل n ، a هو المصطلح الأول ، b هو الفرق و n عدد صحيح.

لمزيد من التفاصيل حول مادة المتسلسلة الحسابية ، ضع في اعتبارك الأسئلة النموذجية التالية ،

1. إعطاء تسلسل حسابي 3،7،11،15 ،…. ، Un. ما هو الحد العاشر خط U 10 أعلاه؟

اقرأ أيضًا: أكثر من 25 فيلمًا علميًا موصى به على الإطلاق [أحدث تحديث]

نقاش:

من المعروف من التسلسل أعلاه أن الحد الأول أ هو 3 ، له فرق ب ، وهو 4 و ن = 10.

ما هو الحد العاشر من U 10 ؟ باستخدام الصيغة السابقة ، يتم الحصول على U 10 على النحو التالي

U n = a + (n-1) ب

ق 10 = 3 + (10-1) 4

= 3 + 36

= 39

إذن ، الحد العاشر في المتتابعة الحسابية أعلاه هو 39

المتوالية العددية

كما تمت مناقشته سابقًا ، يوضح التسلسل الحسابي تسلسل الأرقام U 1 ، U 2 ، ... ، U n التي لها نفس النمط. وفي الوقت نفسه ، فإن المتتالية الحسابية هي مجموع ترتيب الأرقام في المتوالية الحسابية U 1 + U 2 +… + Un حتى الحد n.

المفهوم الفعلي لهذه السلسلة الحسابية بسيط لأننا نجمع فقط المتتالية الحسابية التي ناقشناها سابقًا إلى الحد التاسع اعتمادًا على ما تم طلبه.

على سبيل المثال ، نضيف تسلسل مشكلة العينة السابقة إلى الحد الرابع ، أليس كذلك؟ لكن ماذا لو جمعت المتتالية الحسابية إلى الحد 100 ، حسنًا ، ما مدى صعوبة ذلك.

لذلك ، لتسهيل حساب هذه السلسلة الحسابية ، يتم استخدام صيغة عملية

معادلات المتسلسلات الحسابية

مع،

أ هو المصطلح الأول

ب مختلف

Sn هو رقم الحد n

مثال على مسائل المتسلسلة الحسابية

بإعطاء تسلسل حسابي 3 + 7 + 11 + 15 +…. + Un. أوجد عدد الحد العاشر U 10 في المتسلسلة أعلاه

مناقشة :

من المعروف أنه في السلسلة أعلاه أ = 3 ، ب = 4 ون = 10 ، يُسأل ما هو رقم الحد العاشر في السلسلة أعلاه.

باستخدام صيغة

Sn = n / 2 (2a + (n-1) ب)

ق 10 = 10/2 (2.3+ (10-1) .4)

= 5. (6 + 36)

= 210

إذن ، فإن عدد المتتالية المكونة من عشرة حدود أعلاه هو 252

حسنًا ، لقد فهمت بالفعل المادة المتعلقة بالسلسلة الحسابية ، لكي تكون أكثر كفاءة في التعامل مع مسائل المتسلسلة ، راجع نماذج الأسئلة التالية.

1. يوجد متتالية حسابية بالحد 10 الأول والحد السادس 20.

أ. حدد الفرق في المتسلسلة الحسابية.

ب. اكتب التسلسل الحسابي.

ج. حدد مجموع أول ستة حدود من المتتالية الحسابية.

اقرأ أيضًا: الفكرة الرئيسية / الفكرة الرئيسية هي ... (التعريف والأنواع والخصائص) كاملة

مناقشة :

إذا كانت a = 10 و U6 = 20 ،

أ. Un = a + (n-1) ب

U6 = أ + (6-1) ب

20 = +10 (5) ب

ب = 10/5 = 2

ب. التسلسل الحسابي: 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + ... + Un

ج. رقم الفصل السادس S6 ،

Sn = n / 2 (2a + (n-1) ب)

S6 = 6/2 (2.10+ (6-1) 2)

= 3 (20 + 10)

= 90

إذن ، مجموع الحد السادس في السلسلة أعلاه هو 90

2. إعطاء تسلسل حسابي: 2 ، 6 ، 10 ، 14 ، 18 ، ......... يو ن . أوجد صيغة الحد النوني في المتتابعة الحسابية.

نقاش:

إذا كان الخط الحسابي أعلاه ، أ = 2 و ب = 4 ، مطلوبًا لصيغة الحد النوني

Un = a + (n-1) ب

Un = 2+ (ن -1) 4

Un = 2 + 4n-4

Un = 4n-2

إذن ، الصيغة n للصف أعلاه هي Un = 4n-2.

هذه هي المادة المتعلقة بالمتسلسلات الحسابية ، أتمنى أن تفهمها جيدًا!


المرجع : المتتالية الحسابية والجمع - الرياضيات ممتعة