مثال على مسائل الاستقراء الرياضي

فيما يلي مثال على مشكلة حتى تتمكن من فهم كيفية حل إثبات الصيغة باستخدام الاستقراء الرياضي بشكل أفضل.

صف

مثال 1

أثبت 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n + 1) ، لكل n عدد طبيعي.

إجابة:

ف (ن): 2 + 4 + 6 + ... + 2 ن = ن (ن + 1)

سيتم إثبات أن n = (n) صحيح لكل n ∈ N

الخطوة الأولى :

سيظهر أن n = (1) صحيحة

2 = 1 (1 + 1)

إذن ، P (1) صحيحة

الخطوة الثانية :

افترض أن n = (k) صحيح أي

2 + 4 + 6 + ... + 2 ك = ك (ك + 1) ، ك ∈ شمال

خطوة ثالثة

سيظهر أن n = (k + 1) صحيح أيضًا ، أي

2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2 (ك + 1) = (ك + 1) (ك + 1 + 1)

من الافتراضات:

2 + 4 + 6 + ... + 2k = ك (ك + 1)

أضف كلا الجانبين باستخدام u _{k + 1} :

2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2 (ك + 1) = ك (ك + 1) + 2 (ك + 1)

2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2 (ك + 1) = (ك + 1) (ك + 2)

2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2 (ك + 1) = (ك + 1) (ك + 1 + 1)

إذن ، n = (k + 1) صحيحة

مثال 2

استخدم الاستقراء الرياضي لإثبات المعادلات

Sn = 1 + 3 + 5 +7 +… + (2n-1) = n2 لجميع الأعداد الصحيحة n ≥ 1.

إجابة:

الخطوة الأولى :
سيظهر أن n = (1) صحيحة
S1 = 1 = 12
الخطوة الثانية
افترض أن n = (k) صحيح ، أي
1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (ك) -1 = ك 2
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = ك 2
خطوة ثالثة
أثبت أن n = (k + 1) صحيح
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
تذكر أن 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k2
ثم
ك 2 + [2 (ك + 1) - 1] = (ك + 1) 2
ك 2 + 2 ك + 1 = (ك + 1) 2
(ك + 1) 2 = (ك + 1) 2
ثم تم إثبات المعادلة أعلاه

مثال 3

أثبت أن 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2 صحيح ، لكل n أعداد طبيعية

إجابة:

الخطوة الأولى :

سيظهر أن n = (1) صحيحة

1 = 12

إذن ، P (1) صحيحة

الخطوة الثانية :

افترض أن n = (k) صحيح ، أي

1 + 3 + 5 + ... + (2 ك - 1) = ك 2 ، ك ∈ ن.

خطوة ثالثة :

سيظهر أن n = (k + 1) صحيح أيضًا ، أي

1 + 3 + 5 + ... + (2 ك - 1) + (2 (ك + 1) - 1) = (ك + 1) 2

من الافتراضات:
1 + 3 + 5 + ... + (2 ك - 1) = ك 2
أضف كلا الجانبين باستخدام u k + 1 :
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + (2 (k + 1) - 1)
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + 2k +1
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
إذن ، n = (k + 1) صحيح أيضًا

قطاع

مثال 4

أثبت أن n3 + 2n يقبل القسمة على 3 لكل n عدد طبيعي

إجابة:

الخطوة الأولى :

سيظهر أن n = (1) صحيحة

13 + 2.1 = 3 = 3.1

إذن ، n = (1) صحيحة

الخطوة الثانية :

افترض أن n = (k) صحيح ، أي

ك 3 + 2 ك = 3 م ، ك ∈ ن

خطوة ثالثة:

سيظهر أن n = (k + 1) صحيح أيضًا ، أي

(ك + 1) 3 + 2 (ك + 1) = 3 ص ، ص ∈ ZZ

(ك + 1) 3 + 2 (ك + 1) = (ك 3 + 3 ك 2 + 3 ك + 1) + (2 ك + 2)

(ك + 1) 3 + 2 (ك + 1) = (ك 3 + 2 ك) + (3 ك 2 + 3 ك + 3)

(ك + 1) 3 + 2 (ك + 1) = 3 م + 3 (ك 2 + ك + 1)

(ك + 1) 3 + 2 (ك + 1) = 3 (م + ك 2 + ك + 1)

بما أن m عدد صحيح و k عدد طبيعي ، (m + k2 + k + 1) عدد صحيح.

افترض أن ص = (م + ك 2 + ك + 1) ، إذن

(ك + 1) 3 + 2 (ك + 1) = 3 ص ، حيث ص ∈ ZZ

إذن ، n = (k + 1) صحيحة

عدم المساواة

مثال 5

اثبت أن لكل عدد طبيعي n ≥ 2 صحيح

3 ن> 1 + 2 ن

إجابة:

الخطوة الأولى :

سيظهر أن n = (2) صحيحة

32 = 9> 1 + 2.2 = 5

إذن ، P (1) صحيحة

الخطوة الثانية :

افترض أن n = (k) صحيح ، أي

3 ك> 1 + 2 ك ، ك 2

خطوة ثالثة:

سيظهر أن n = (k + 1) صحيح أيضًا ، أي

3 ك + 1> 1 + 2 (ك + 1)

3 ك + 1 = 3 (3 ك)
3k + 1> 3 (1 + 2k) (لأن 3k> 1 + 2k)
3 ك + 1 = 3 + 6 ك
3k + 1> 3 + 2k (لأن 6k> 2k)
3 ك + 1 = 1 + 2 ك + 2
3 ك + 1 = 1 + 2 (ك + 1)

إذن ، n = (k + 1) صحيح أيضًا

مثال 6

أثبت أن لكل عدد طبيعي n ≥ 4 صالح

(ن + 1)! > 3n

إجابة:

الخطوة الأولى :

سيظهر أن n = (4) صحيحة

(4 + 1)! > 34

الجانب الأيسر: 5! = 5.4.3.2.1 = 120

الجانب الأيمن: 34 = 81

إذن ، n = (4) صحيحة

الخطوة الثانية :

افترض أن n = (k) صحيح ، أي

(ك + 1)! > 3 ك ، ك ≥ 4

خطوة ثالثة:

سيظهر أن n = (k + 1) صحيح أيضًا ، أي

(ك + 1 + 1)! > 3 كيلو + 1

(ك + 1 + 1)! = (ك + 2)!
(ك + 1 + 1)! = (ك + 2) (ك + 1)!
(ك + 1 + 1)! > (ك + 2) (3 ك) (لأن (ك + 1)!> 3 ك)
(ك + 1 + 1)! > 3 (3 كيلو) (لأن ك + 2> 3)
(ك + 1 + 1)! = 3 ك + 1

إذن ، n = (k + 1) صحيح أيضًا